EUREKA
#1
对称与守恒
在前面我们用无穷小变换得到了拉格朗日函数形式，下面我们继续用无穷小变换来得到一些有趣的东西。
在物理学中，守恒量的寻找一直是很重要的一件事。比如能量守恒、电荷守恒什么的。
所谓对称就是说一个东西经过某种变换后仍保持不变。下面我们举几个例子。
时间均匀性与能量守恒
对于一个封闭系统，由于时间是均匀的，系统的拉格朗日函数应该是不随时间变化的。感觉似乎很有道理但是又觉得很玄乎。应该就是说，既然这个函数是描述这个系统的，而这个系统又不与外界发生联系，那这个函数肯定不随时间变化。
因此我们得到拉格朗日函数不显含时间。
\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial t}=0\\
\frac{d\mathscr{L}}{dt}=\sum_i\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial q_i}\dot{q_i}+\sum_i\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{q_i}}\ddot{q_i}+\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial t}
利用我们之前得到的结论：
\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}=0
得到：
\frac{d\mathscr{L}}{dt}=\sum_i\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}+\sum_i\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{q_i}}\ddot{q_i}=\sum_i\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{q_i}}\dot{q_i}\right)
于是我们有结论：
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{q_i}}\dot{q_i}-\mathscr{L}\right)=0
括号中式子保持不变，称为系统的能量。
此外，由
\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}=0
可知若拉格朗日函数不显含某广义坐标，就会对应一个守恒量。即：
\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial q_i}=0，\\
所以\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}=0，\\
所以\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}=C（为常数）
我们称保持恒定的这个式子（函数）为运动积分
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#2
空间均匀性与动量守恒
我们将系统整体平移，则其性质应保持不变。平移后：
\vec{r}'=\vec{r}+\vec{\epsilon}
经过平移后拉格朗日函数应不发生变化。下面用了泰勒展开来处理，约去了高阶无穷小。
\delta\mathscr{L}=\sum_i\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \vec{r}_i}\vec{\epsilon}=\vec{\epsilon}\sum_i\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \vec{r}_i}=0
对任意ε上式均成立，则：
\sum_i\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \vec{r}_i}=0
而根据拉格朗日方程：
\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}=0
我们得到：
\sum_i\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\vec{v}_i}=\frac{d}{dt}\sum_i\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\vec{v}_i}=0\\
即\sum_i\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\vec{v}_i}=C（动量守恒）
我们称
\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}
为广义动量。
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#3
空间各向同性与角动量守恒
再举一个例子。空间各向同性，即无论朝着哪个方向，性质都是相同的。
如果整个系统发生无穷小的转动δφ，则位移和速度的变化：
\delta\vec{r}=\delta\vec{\phi}\times\vec{r}\\
\delta\vec{v}=\delta\vec{\phi}\times\vec{v}
因为经过变换后系统力学性质不变，拉格朗日函数应当不变，即：
\delta\mathscr{L}=\sum_i\left(\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\vec{r}_i}\delta\vec{r}_i+\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\vec{v}_i}\delta\vec{v}_i \right)=0
根据前面我们对广义动量的规定，可以得到：
\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\vec{v}_i}=\vec{p}_i\\
\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\vec{r}_i}=\dot{\vec{p}_i}
代入可得：
\sum_i[\dot{\vec{p}_i}\cdot(\delta\vec{\phi}\times\vec{r}_i)+\vec{p}_i\cdot(\delta\vec{\phi}\times\vec{v}_i)]=0
容易理解：
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})
表示的是以a,b,c三个向量为相邻棱的平行六面体的体积。于是有下式：
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}\cdot(\vec{c}\times\vec{a})
于是，我们继续变换上面的式子得到：
\delta\vec{\phi}\cdot\sum_i(\vec{r}_i\times\dot{\vec{p}_i}+\vec{v}_i\times\vec{p}_i)=\delta\vec{\phi}\cdot\frac{d}{dt}\sum_i(\vec{r}_i\times\vec{p}_i)=0
变化过程中旋转的角度可取任意值，则：
\frac{d}{dt}\sum_i(\vec{r}_i\times\vec{p}_i)=0\\
\vec{M}=\sum_i(\vec{r}_i\times\vec{p}_i)守恒
即角动量守恒。
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#4
诺特定理
我们会发现上面这几个变换都是非常相似的。可以总结下。
对于无穷小变换：
q_i'=q_i+\epsilon\kappa_{q_i}(q)
拉格朗日函数的变化量：
\delta\mathscr{L}=\epsilon\sum_{q_i}\dot{\kappa}_{q_i}\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{q_i}}+\epsilon\sum_{q_i}\kappa_{q_i}\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial q_i}=\frac{d}{dt}\left(\sum_{q_i}\kappa_{q_i}\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{q_i}}\right)=0
即有守恒量：
\sum_{q_i}\kappa_{q_i}\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{q_i}}
也就是说，每存在一个对称变换，就会有一个守恒量。
对称就是说发生变化后性质保持不变。
这也是所谓的诺特定理，当然，这里写的只是非常粗浅的。
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