对称与守恒

对称与守恒

在前面我们用无穷小变换得到了拉格朗日函数形式,下面我们继续用无穷小变换来得到一些有趣的东西。

在物理学中,守恒量的寻找一直是很重要的一件事。比如能量守恒、电荷守恒什么的。

所谓对称就是说一个东西经过某种变换后仍保持不变。下面我们举几个例子。

时间均匀性与能量守恒

对于一个封闭系统,由于时间是均匀的,系统的拉格朗日函数应该是不随时间变化的。感觉似乎很有道理但是又觉得很玄乎。应该就是说,既然这个函数是描述这个系统的,而这个系统又不与外界发生联系,那这个函数肯定不随时间变化。

因此我们得到拉格朗日函数不显含时间。

\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial t}=0\\
\frac{d\mathscr{L}}{dt}=\sum_i\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial q_i}\dot{q_i}+\sum_i\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{q_i}}\ddot{q_i}+\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial t}

利用我们之前得到的结论:

\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}=0

得到:

\frac{d\mathscr{L}}{dt}=\sum_i\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}+\sum_i\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{q_i}}\ddot{q_i}=\sum_i\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{q_i}}\dot{q_i}\right)

于是我们有结论:

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{q_i}}\dot{q_i}-\mathscr{L}\right)=0

括号中式子保持不变,称为系统的能量。

此外,由

\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}=0

可知若拉格朗日函数不显含某广义坐标,就会对应一个守恒量。即:

\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial q_i}=0,\\ 所以\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}=0,\\ 所以\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}=C(为常数)

我们称保持恒定的这个式子(函数)为运动积分

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空间均匀性与动量守恒

我们将系统整体平移,则其性质应保持不变。平移后:

\vec{r}'=\vec{r}+\vec{\epsilon}

经过平移后拉格朗日函数应不发生变化。下面用了泰勒展开来处理,约去了高阶无穷小。

\delta\mathscr{L}=\sum_i\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \vec{r}_i}\vec{\epsilon}=\vec{\epsilon}\sum_i\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \vec{r}_i}=0

对任意ε上式均成立,则:

\sum_i\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \vec{r}_i}=0

而根据拉格朗日方程:

\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}=0

我们得到:

\sum_i\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\vec{v}_i}=\frac{d}{dt}\sum_i\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\vec{v}_i}=0\\ 即\sum_i\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\vec{v}_i}=C(动量守恒)

我们称

\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}

广义动量

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空间各向同性与角动量守恒

再举一个例子。空间各向同性,即无论朝着哪个方向,性质都是相同的。

如果整个系统发生无穷小的转动δφ,则位移和速度的变化:

\delta\vec{r}=\delta\vec{\phi}\times\vec{r}\\ \delta\vec{v}=\delta\vec{\phi}\times\vec{v}

因为经过变换后系统力学性质不变,拉格朗日函数应当不变,即:

\delta\mathscr{L}=\sum_i\left(\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\vec{r}_i}\delta\vec{r}_i+\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\vec{v}_i}\delta\vec{v}_i \right)=0

根据前面我们对广义动量的规定,可以得到:

\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\vec{v}_i}=\vec{p}_i\\ \frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\vec{r}_i}=\dot{\vec{p}_i}

代入可得:

\sum_i[\dot{\vec{p}_i}\cdot(\delta\vec{\phi}\times\vec{r}_i)+\vec{p}_i\cdot(\delta\vec{\phi}\times\vec{v}_i)]=0

容易理解:

\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})

表示的是以a,b,c三个向量为相邻棱的平行六面体的体积。于是有下式:

\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}\cdot(\vec{c}\times\vec{a})

于是,我们继续变换上面的式子得到:

\delta\vec{\phi}\cdot\sum_i(\vec{r}_i\times\dot{\vec{p}_i}+\vec{v}_i\times\vec{p}_i)=\delta\vec{\phi}\cdot\frac{d}{dt}\sum_i(\vec{r}_i\times\vec{p}_i)=0

变化过程中旋转的角度可取任意值,则:

\frac{d}{dt}\sum_i(\vec{r}_i\times\vec{p}_i)=0\\ \vec{M}=\sum_i(\vec{r}_i\times\vec{p}_i)守恒

即角动量守恒。

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诺特定理

我们会发现上面这几个变换都是非常相似的。可以总结下。

对于无穷小变换:

q_i'=q_i+\epsilon\kappa_{q_i}(q)

拉格朗日函数的变化量:

\delta\mathscr{L}=\epsilon\sum_{q_i}\dot{\kappa}_{q_i}\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{q_i}}+\epsilon\sum_{q_i}\kappa_{q_i}\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial q_i}=\frac{d}{dt}\left(\sum_{q_i}\kappa_{q_i}\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{q_i}}\right)=0

即有守恒量:

\sum_{q_i}\kappa_{q_i}\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{q_i}}

也就是说,每存在一个对称变换,就会有一个守恒量。

对称就是说发生变化后性质保持不变。

这也是所谓的诺特定理,当然,这里写的只是非常粗浅的。

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