数学物理方程

开个新坑

欧拉方程

欧拉方程,或者说是一种“特殊的变系数线性微分方程”
解数学物理方程的时候有,发现已经忘了,特意记一下 :c_shounuehuaji:

形式如下

x^ny^{(n)}+p_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}xy'+p_ny=f(x)

我们用

x=\mathrm{e}^t

代换,则有

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}\\

可以得到

x^ky^{(k)}=D(D-1)(D-2)\cdots(D-k+1)y,D表示求导运算\frac{d}{dt}

刚好可以消去前面的x系数,以二阶为例

\frac{d^2y}{dt^2}+(p_1-1)\frac{dy}{dt}+p_2y=f(e^t)

转化为二阶线性常系数微分方程

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