物理系大二菜狗，写一点笔记，就当是逼自己学习了 
变分法
来自最速降线问题。第一次见到这个词大概还是高中课本，或者B站上3b1b的一个视频 最速降线问题：最快下滑路径为什么是旋轮线？（中英字幕）_哔哩哔哩_bilibili。这个用费马原理解决这个问题的思路确实令我大受震撼
还没有能力把这笔记写得多么好，只能大致记录一下推导过程了 
数学处理
（QAQ，不知道用什么绘图，有什么推荐的吗？）
最速降线问题：一物体沿光滑斜面从A到B，斜面为什么形状时运动时间最短？
用积分得到时间
T=\int_{x_1}^{x_2}\frac{ds}{dv}=\int_{x_1}^{x_2}\frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{2gy}}dx
这是一个函数的函数,我们称这种映射关系为泛函关系
泛函关系通常可表示为
T=\int_{x_1}^{x_2} f[y(x),y'(x),x]dx
现在我们需要求T的极值（最小值），我们假设
y=y_0(x)
时取极值。
称
\delta y=y(x)-y_0(x)
为y的变分（可以说是一个“差值”函数？）
设一个
y(x,\alpha)=y_0(x)+\alpha\delta y
并将这个式子代入上面的积分
y(x,\alpha)=\int_{x_1}^{x_2}f(y+\alpha\delta y,y'+\alpha\delta y',x)dx\\\alpha=0时有\frac{dy}{d\alpha}=0(取极值)\\求导得到:\frac{\partial y(x,\alpha)}{\partial\alpha}=\int_{x_1}^{x_2}\left (\delta y\frac{\partial f}{\partial y}+\delta y'\frac{\partial f}{\partial y'}\right )dx=0\\
（这个式子处理后和求微分差不多，将\delta y看作dy)
这里积分和求导互换好像也有点复杂，什么积分下求导定理（不过不管那么多了
运用分部积分求积分内右边
\int_{x_1}^{x_2}\delta y'\frac{\partial
f}{\partial y'}dx=\left[\delta y\frac{\partial
f}{\partial y'}\right]_{x_1}^{x_2}-\int_{x_1}^{x_2}\delta y\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)dx
\delta y(x_1)=\delta y(x_2)=0\\{}\\所以\left[\delta y\frac{\partial
f}{\partial y'}\right]_{x_1}^{x_2}=0\\{}\\\int_{x_1}^{x_2}\delta y'\frac{\partial
f}{\partial y'}dx=-\int_{x_1}^{x_2}\delta y\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)dx
再代回得到
\frac{\partial y(x,\alpha)}{\partial\alpha}=\int_{x_1}^{x_2}\delta y\left(\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}\right)=0
$\delta y$取任何值时均成立,所以括号内为0,即:
\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}=0,(x_1\leq x\leq x_2)
即为欧拉-拉格朗日方程
接下来就可以继续学理论力学了（X
好毒！！